JavaScript BigInt Kryptografia Krzywych Eliptycznych: Dogłębne Zanurzenie w Zaawansowane Operacje

W erze zdominowanej przez interakcje cyfrowe, od zdecentralizowanych finansów (DeFi) po kompleksowo szyfrowane wiadomości, siła naszych fundamentów kryptograficznych nigdy nie była bardziej krytyczna. Kryptografia Krzywych Eliptycznych (ECC) stanowi filar nowoczesnej kryptografii klucza publicznego, oferując solidne bezpieczeństwo przy mniejszych rozmiarach kluczy w porównaniu do jej poprzedników, takich jak RSA. Przez lata wykonywanie tych złożonych operacji matematycznych bezpośrednio w JavaScript było wyzwaniem, często wymagającym wyspecjalizowanych bibliotek, które abstrahowały od szczegółów niskiego poziomu lub radziły sobie z ograniczeniami standardowego typu liczbowego JavaScript.

Wprowadzenie natywnego typu BigInt w JavaScript (ES2020) było rewolucyjnym momentem. Uwolniło programistów od ograniczeń 64-bitowego zmiennoprzecinkowego typu Number, zapewniając mechanizm obsługi dowolnie dużych liczb całkowitych. Ta pojedyncza funkcja odblokowała potencjał wydajnych, natywnych i bardziej przejrzystych implementacji kryptograficznych bezpośrednio w środowiskach JavaScript, takich jak przeglądarki i Node.js.

Podczas gdy wielu programistów zna podstawy ECC - generowanie par kluczy i podpisywanie wiadomości - prawdziwa moc tej technologii leży w jej bardziej zaawansowanych operacjach. Ten artykuł wykracza poza podstawy, aby zbadać zaawansowane protokoły i techniki kryptograficzne, które są teraz dostępne dzięki BigInt. Zagłębimy się w Elliptic Curve Diffie-Hellman (ECDH) dla bezpiecznej wymiany kluczy, odzyskiwanie klucza publicznego z podpisów oraz potężne, przyjazne dla agregacji podpisy Schnorra.

Rewolucja BigInt w Kryptografii JavaScript

Zanim przejdziemy do zaawansowanych operacji, ważne jest, aby zrozumieć, dlaczego BigInt jest tak przełomowy dla kryptografii w JavaScript.

Problem z Typem `Number`

Tradycyjny typ Number JavaScript to 64-bitowa liczba zmiennoprzecinkowa podwójnej precyzji IEEE 754. Ten format jest doskonały dla szerokiego zakresu aplikacji, ale ma krytyczne ograniczenie dla kryptografii: może bezpiecznie reprezentować liczby całkowite tylko do Number.MAX_SAFE_INTEGER, czyli 2⁵³ - 1.

Klucze kryptograficzne i wartości pośrednie w ECC są znacznie większe. Na przykład popularna krzywa secp256k1 używana przez Bitcoin i Ethereum działa na polu liczb pierwszych o długości 256 bitów. Liczby te są o rzędy wielkości większe niż to, co standardowy typ Number może obsłużyć bez utraty precyzji. Próba wykonywania obliczeń na takich liczbach doprowadziłaby do nieprawidłowych i niebezpiecznych wyników.

Wejdź `BigInt`: Liczby Całkowite o Dowolnej Precyzji

BigInt rozwiązuje ten problem elegancko. Jest to odrębny typ liczbowy, który zapewnia sposób reprezentowania liczb całkowitych dowolnej wielkości. Możesz utworzyć BigInt, dodając `n` na końcu literału liczby całkowitej lub wywołując konstruktor BigInt().

Przykład:

const aLargeNumber = 9007199254740991n; // Bezpieczne z BigInt
const anEvenLargerNumber = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007908834671663n; // 256-bitowa liczba pierwsza

Dzięki BigInt wszystkie standardowe operatory arytmetyczne (+, -, *, /, %, **) działają zgodnie z oczekiwaniami na tych ogromnych liczbach całkowitych. Ta możliwość jest fundamentem, na którym budowane są natywne implementacje ECC w JavaScript, umożliwiając bezpośrednie, precyzyjne i bezpieczne obliczanie algorytmów kryptograficznych bez polegania na zewnętrznych modułach WebAssembly lub nieporęcznych bibliotekach liczb wieloczęściowych.

Odświeżenie Podstaw Kryptografii Krzywych Eliptycznych

Aby docenić zaawansowane operacje, przypomnijmy pokrótce podstawowe koncepcje ECC.

U podstaw ECC leży algebraiczna struktura krzywych eliptycznych nad ciałami skończonymi. Krzywe te są zdefiniowane przez równanie Weierstrassa:

y² = x³ + ax + b (mod p)

Gdzie `a` i `b` są stałymi definiującymi kształt krzywej, a `p` jest dużą liczbą pierwszą definiującą ciało skończone.

Kluczowe Koncepcje

• Punkt na Krzywej: Para współrzędnych (x, y), która spełnia równanie krzywej. Wszystkie nasze operacje kryptograficzne to zasadniczo "arytmetyka punktów".
• Punkt Bazowy (G): Publicznie znany, standardowy punkt początkowy na krzywej.
• Klucz Prywatny (d): Bardzo duża, kryptograficznie bezpieczna losowa liczba całkowita. To jest twój sekret. W kontekście BigInt, `d` jest dużym BigInt.
• Klucz Publiczny (Q): Punkt na krzywej wyprowadzony z klucza prywatnego i punktu bazowego poprzez operację zwaną mnożeniem skalarnym: Q = d * G. Oznacza to dodanie punktu G do samego siebie `d` razy.

Bezpieczeństwo ECC zależy od Problemu Logarytmu Dyskretnego Krzywej Eliptycznej (ECDLP). Obliczenie klucza publicznego `Q` na podstawie klucza prywatnego `d` i punktu bazowego `G` jest łatwe obliczeniowo. Jednak określenie klucza prywatnego `d` tylko na podstawie klucza publicznego `Q` i punktu bazowego `G` jest obliczeniowo niewykonalne.

Zaawansowana Operacja 1: Wymiana Kluczy Elliptic Curve Diffie-Hellman (ECDH)

Jednym z najpotężniejszych zastosowań ECC jest ustanowienie wspólnego sekretu między dwiema stronami za pośrednictwem niezabezpieczonego kanału komunikacyjnego. Osiąga się to za pomocą protokołu wymiany kluczy Elliptic Curve Diffie-Hellman (ECDH).

Cel

Wyobraź sobie dwie osoby, Alicję i Boba, które chcą komunikować się bezpiecznie. Muszą uzgodnić symetryczny klucz szyfrowania, który tylko oni znają, ale ich jedynym środkiem komunikacji jest kanał publiczny, który może monitorować podsłuchiwacz, Ewa. ECDH pozwala im obliczyć identyczny wspólny sekret bez przesyłania go bezpośrednio.

Protokół Krok po Kroku

1. Generowanie Kluczy:
   • Alicja generuje swój klucz prywatny, `d_A` (duży losowy BigInt), i odpowiadający mu klucz publiczny, `Q_A = d_A * G`.
   • Bob generuje swój klucz prywatny, `d_B` (kolejny duży losowy BigInt), i swój klucz publiczny, `Q_B = d_B * G`.
2. Wymiana Kluczy Publicznych:
   • Alicja wysyła Bobowi swój klucz publiczny, `Q_A`.
   • Bob wysyła Alicji swój klucz publiczny, `Q_B`.
   • Ewa, podsłuchiwacz, widzi zarówno `Q_A`, jak i `Q_B`, ale nie może wyprowadzić kluczy prywatnych `d_A` lub `d_B` z powodu ECDLP.
3. Obliczanie Wspólnego Sekretu:
   • Alicja bierze klucz publiczny Boba `Q_B` i mnoży go przez swój własny klucz prywatny `d_A`, aby uzyskać punkt S: S = d_A * Q_B.
   • Bob bierze klucz publiczny Alicji `Q_A` i mnoży go przez swój własny klucz prywatny `d_B`, aby uzyskać punkt S: S = d_B * Q_A.

Magia Przemienności

Zarówno Alicja, jak i Bob dochodzą do dokładnie tego samego sekretnego punktu `S` na krzywej. Dzieje się tak, ponieważ mnożenie skalarne jest łączne i przemienne:

Obliczenia Alicji: S = d_A * Q_B = d_A * (d_B * G)

Obliczenia Boba: S = d_B * Q_A = d_B * (d_A * G)

Ponieważ d_A * d_B * G = d_B * d_A * G, obaj obliczają ten sam wynik bez ujawniania swoich kluczy prywatnych.

Od Wspólnego Punktu do Klucza Symetrycznego

Wynikowy wspólny sekret `S` jest punktem na krzywej, a nie kluczem symetrycznym odpowiednim dla algorytmów szyfrowania, takich jak AES. Aby wyprowadzić klucz, standardową praktyką jest pobranie współrzędnej x punktu `S` i przekazanie jej przez Funkcję Wyprowadzania Klucza (KDF), taką jak HKDF (funkcja wyprowadzania klucza oparta na HMAC). KDF pobiera wspólny sekret i opcjonalnie sól oraz inne informacje i generuje kryptograficznie silny klucz o żądanej długości.

Wszystkie podstawowe obliczenia - generowanie kluczy prywatnych jako losowych `BigInt` i wykonywanie mnożenia skalarnego - w dużym stopniu opierają się na arytmetyce `BigInt`.

Zaawansowana Operacja 2: Odzyskiwanie Klucza Publicznego z Podpisów

W wielu systemach, zwłaszcza blockchainach, wydajność i minimalizacja danych są najważniejsze. Zazwyczaj, aby zweryfikować podpis, potrzebujesz wiadomości, samego podpisu i klucza publicznego sygnatariusza. Jednak sprytna właściwość algorytmu podpisu cyfrowego krzywej eliptycznej (ECDSA) pozwala na odzyskanie klucza publicznego bezpośrednio z wiadomości i podpisu. Oznacza to, że klucz publiczny nie musi być przesyłany, oszczędzając cenne miejsce.

Jak to Działa (Poziom Wysoki)

Podpis ECDSA składa się z dwóch składników, (`r`, `s`).

• `r` jest wyprowadzane ze współrzędnej x losowego punktu `k * G`.
• `s` jest obliczane na podstawie haszu wiadomości (`z`), klucza prywatnego (`d`) i `r`. Wzór to: `s = k_inverse * (z + r * d) mod n`, gdzie `n` jest rzędem krzywej.

Poprzez algebraiczną manipulację równaniem weryfikacji podpisu można wyprowadzić wyrażenie na klucz publiczny `Q`. Jednak ten proces daje dwa możliwe poprawne klucze publiczne. Aby rozwiązać tę dwuznaczność, mała część dodatkowych informacji zwana identyfikatorem odzyskiwania (często oznaczana jako `v` lub `recid`) jest dołączana do podpisu. Ten identyfikator, zazwyczaj 0, 1, 2 lub 3, określa, które z możliwych rozwiązań jest poprawne i czy współrzędna y klucza jest parzysta, czy nieparzysta.

Dlaczego `BigInt` jest Niezbędny

Operacje matematyczne wymagane do odzyskania klucza publicznego są intensywne i obejmują odwrotności modularne, mnożenie i dodawanie liczb 256-bitowych. Na przykład kluczowym krokiem jest obliczenie `(r_inverse * (s*k - z)) * G`. Te operacje są dokładnie tym, do czego został zaprojektowany `BigInt`. Bez niego wykonywanie tych obliczeń w natywnym JavaScript byłoby niemożliwe bez znacznej utraty precyzji i bezpieczeństwa.

Praktyczne Zastosowanie: Transakcje Ethereum

Ta technika jest powszechnie stosowana w Ethereum. Podpisana transakcja nie zawiera bezpośrednio publicznego adresu nadawcy. Zamiast tego adres (który jest wyprowadzany z klucza publicznego) jest odzyskiwany ze składników `v`, `r` i `s` podpisu. Ten wybór projektowy oszczędza 20 bajtów na każdej transakcji, co stanowi znaczną oszczędność w skali globalnego blockchaina.

Zaawansowana Operacja 3: Podpisy Schnorra i Agregacja

Chociaż ECDSA jest szeroko stosowany, ma pewne wady, w tym plastyczność podpisu i brak właściwości agregacji. Podpisy Schnorra, kolejny schemat oparty na ECC, zapewniają eleganckie rozwiązania tych problemów i są uważane przez wielu kryptografów za lepsze.

Kluczowe Zalety Podpisów Schnorra

• Udowodnione Bezpieczeństwo: Mają prostszy i bardziej solidny dowód bezpieczeństwa w porównaniu do ECDSA.
• Nieplastyczność: Strona trzecia nie może zmienić ważnego podpisu na inny ważny podpis dla tej samej wiadomości i klucza.
• Liniowość (Supermoc): To jest najważniejsza zaleta. Podpisy Schnorra są liniowe, co pozwala na potężne techniki agregacji.

Agregacja Podpisów Wyjaśniona

Właściwość liniowości oznacza, że wiele podpisów od wielu sygnatariuszy można połączyć w jeden, zwarty podpis. Jest to przełom dla schematów wielopodpisowych (multisig).

Rozważmy scenariusz, w którym transakcja wymaga podpisów od 3 z 5 uczestników. W przypadku ECDSA musiałbyś dołączyć wszystkie trzy indywidualne podpisy do blockchaina, zajmując znaczną przestrzeń.

W przypadku podpisów Schnorra proces jest znacznie bardziej wydajny:

1. Agregacja Kluczy: 3 uczestników może połączyć swoje indywidualne klucze publiczne (`Q1`, `Q2`, `Q3`), aby utworzyć jeden zagregowany klucz publiczny (`Q_agg`).
2. Agregacja Podpisów: Poprzez protokół współpracy, taki jak MuSig2, uczestnicy mogą utworzyć jeden zagregowany podpis (`S_agg`), który jest ważny dla zagregowanego klucza publicznego `Q_agg`.

Wynikiem jest transakcja, która z zewnątrz wygląda identycznie jak standardowa transakcja z jednym sygnatariuszem. Ma jeden klucz publiczny i jeden podpis. To dramatycznie poprawia wydajność, skalowalność i prywatność, ponieważ złożone konfiguracje multisig stają się nie do odróżnienia od prostych.

Rola `BigInt`

Magia agregacji tkwi w prostym dodawaniu punktów krzywej eliptycznej i arytmetyce skalarnej. Tworzenie klucza zagregowanego obejmuje `Q_agg = Q1 + Q2 + Q3`, a tworzenie podpisu zagregowanego obejmuje dodawanie poszczególnych składników podpisu modulo rząd krzywej. Wszystkie te operacje - które stanowią podstawę protokołów takich jak MuSig2 - są wykonywane na dużych liczbach całkowitych i współrzędnych krzywej, co czyni `BigInt` niezbędnym narzędziem do implementacji podpisów Schnorra i schematów agregacji w JavaScript.

Uwagi Implementacyjne i Najlepsze Praktyki Bezpieczeństwa

Chociaż `BigInt` umożliwia nam zrozumienie i implementację tych zaawansowanych operacji, budowanie kryptografii klasy produkcyjnej jest niebezpiecznym zadaniem. Oto kilka krytycznych uwag.

1. NIE Twórz Własnej Kryptografii do Produkcji

Ten artykuł ma na celu edukację i zilustrowanie podstawowych mechanizmów. Nigdy nie powinieneś implementować tych prymitywów kryptograficznych od zera dla aplikacji produkcyjnej. Używaj dobrze zweryfikowanych, audytowanych i recenzowanych bibliotek, takich jak `noble-curves`. Biblioteki te są tworzone przez ekspertów i uwzględniają liczne subtelne, ale krytyczne kwestie bezpieczeństwa.

2. Operacje Stałoczasowe i Ataki Kanałami Bocznymi

Jedną z najniebezpieczniejszych pułapek jest atak kanałami bocznymi. Atakujący może analizować niefunkcjonalne aspekty systemu - takie jak zużycie energii lub dokładny czas trwania operacji - aby wyciekać informacje o tajnych kluczach. Na przykład, jeśli mnożenie z bitem '1' w kluczu zajmuje nieco więcej czasu niż z bitem '0', atakujący może zrekonstruować klucz, obserwując wahania czasowe.

Standardowe operacje `BigInt` w JavaScript nie są stałoczasowe. Ich czas wykonania może zależeć od wartości operandów. Profesjonalne biblioteki kryptograficzne używają wysoce wyspecjalizowanych algorytmów, aby zapewnić, że wszystkie operacje z udziałem kluczy prywatnych zajmują stałą ilość czasu, niezależnie od wartości klucza, co łagodzi to zagrożenie.

3. Bezpieczne Generowanie Liczb Losowych

Bezpieczeństwo każdego systemu kryptograficznego zaczyna się od jakości jego losowości. Klucze prywatne muszą być generowane przy użyciu kryptograficznie bezpiecznego generatora liczb pseudolosowych (CSPRNG). W środowiskach JavaScript zawsze używaj wbudowanych interfejsów API:

• Przeglądarka: crypto.getRandomValues()
• Node.js: crypto.randomBytes()

Nigdy nie używaj Math.random() do celów kryptograficznych, ponieważ nie jest on zaprojektowany jako nieprzewidywalny.

4. Parametr Domeny i Walidacja Klucza Publicznego

Odbierając klucz publiczny ze źródła zewnętrznego, należy go zweryfikować. Atakujący może podać złośliwy punkt, który w rzeczywistości nie znajduje się na określonej krzywej eliptycznej, co może prowadzić do ataków, które ujawniają twój klucz prywatny podczas wymiany kluczy ECDH (np. Ataki Nieprawidłowej Krzywej). Renomowane biblioteki obsługują tę walidację automatycznie.

Wniosek

Pojawienie się `BigInt` zasadniczo zmieniło krajobraz kryptografii w ekosystemie JavaScript. Przeniosło ECC z obszaru nieprzejrzystych bibliotek typu "czarna skrzynka" do czegoś, co można zaimplementować i zrozumieć natywnie, wspierając nowy poziom przejrzystości i możliwości.

Zbadaliśmy, w jaki sposób ta pojedyncza funkcja umożliwia zaawansowane i potężne operacje kryptograficzne, które mają kluczowe znaczenie dla nowoczesnych bezpiecznych systemów:

• Wymiana Kluczy ECDH: Podstawa do ustanawiania bezpiecznych kanałów komunikacyjnych.
• Odzyskiwanie Klucza Publicznego: Technika zwiększająca wydajność, kluczowa dla skalowalnych systemów, takich jak blockchainy.
• Podpisy Schnorra: Schemat podpisu nowej generacji oferujący doskonałą wydajność, prywatność i skalowalność dzięki agregacji.

Jako programiści i architekci, zrozumienie tych zaawansowanych koncepcji nie jest już tylko ćwiczeniem akademickim. Są one wdrażane w globalnych systemach dzisiaj, od aktualizacji Taproot w Bitcoinie po bezpieczne protokoły przesyłania wiadomości, które chronią nasze codzienne rozmowy. Chociaż ostateczna implementacja powinna zawsze być pozostawiona audytowanym bibliotekom przeglądanym przez ekspertów, dogłębne zrozumienie mechaniki, umożliwione przez narzędzia takie jak `BigInt`, pozwala nam budować bardziej bezpieczne, wydajne i innowacyjne aplikacje dla globalnej publiczności.